高一大多数孩子觉得函数难，主要是没弄明白函数单调性的作用

徐简明

        高一大多数孩子觉得函数难，主要是没弄明白函数单调性的作用:单调性主要有四个作用:求最值、值域；画函数图像；比较大小；解不等式；

        最值、值域与单调性挂钩。但是很多孩子没有形成这个意识，相反走入了一个误区:由于是先学基本不等式，然后再学函数。所以很多孩子看到最值，首先想到的是基本不等式，导致方向就出现了错误。基本不等式只不过是求最值其中一个工具，只能解决一些简单的问题，使用基本不等式的场景主要是:积为定值、和为定值、平方和为定值已经通过换元可用基本不等式把方程转化为不等式，都是非常明显的。最值是高中数学最高频的一个问题，所以讲基本不等式时，不能局限于基本不等式。而是要上升到求最值，这样也就不会觉得基本不等式变化多了。求最值的通法是:先写出表达式，首先考虑能否转化为单变量的代数式，因为单变量的代数式就是函数，就可以用单调性来处理。如何把双变量的代数式转化为单变量:只需列出一个关于两个变量的方程即可。思路清晰了，目标也就明确了。那又如何研究函数的最值呢？首先需要得到函数的单调性，然后画出函数的草图，看图就能确定什么时候取得最值。
         函数最值这块，还需要掌握分式函数最值的求法，因为分式函数作为基本函数模型，经常会出现。

        函数的核心是数形结合，而数形结合的前提是能画出函数的图像。所以弄明白如何画出函数的图像就至关重要了:先判断函数的单调性，有了单调性就可以画出函数的草图，如果能够得到单调区间端点的函数值，以及函数图像与坐标轴的交点，图像会更加准确。

        运用单调性比较大小则比较简单:首先两个自变量要在同一个单调区间，然后记住两个口诀:函数单调递增，两个不等式(一个是自变量的不等式，应该是对应函数值的不等式)的开口方向相同；单调递减，两个不等式的开口方向相反。如果两个自变量不在同一个单调区间，往往需要画出函数的图像:根据单调性和对称性画函数图像，然后数形结合。

        用单调性解不等式:关键是根据单调性和对称性画出函数的图像，数形结合即可。

         还有函数中最难的零点问题，也和单调性有关系。首先需要形成这样的思维习惯:选择填空函数零点个数问题，通常转化为两个函数的交点个数问题。方程有没有解、有几个解，本质是函数零点问题。零点问题关键是画出函数的图像，而画图需要先判断函数的单调性，根据单调性画图。

        所以高一判断复合函数的单调性就尤为重要了。不会判断函数的单调性，自然无法画图，数形结合也就无从谈起。所以高中数学真的是环环相扣，有一环出现问题都不行。